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對于一個無模式可循的集合,很難掌握其規律,但數學家可以依靠簡單的邊界值來幫助回答他們心中的疑問。

偷偷告訴你一個高技巧玩游戲秘籍

躲雨或者休閑的時候,玩個簡單的數字游戲打發時間吧!

咱們輪流從 {1,2,3,…,9} 這個列表中劃掉數字,規則是不可以有3個連在一起的數字被劃掉,先劃到三連數字的人認輸。

來吧!你可以先開始。

假設經過四步,我們劃掉了這些數字:

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又輪到你了。注意,如果你劃掉4,你就輸了,因為有3個被劃掉的數字連在一起了:3-4-5。劃掉7你也輸了,因為是7-8-9。你只能劃掉1,2或者6。但是無論你選其中的哪一個,我都可以通過再劃掉另一個,讓你沒有可劃的數字。

這是一個簡單的游戲,但卻用到了有趣的數學。一種方法是創造“缺口”,這樣一來你的對手就沒有別的選擇,只能從中間補全一個“3連劃”,就像這樣:

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另一個方法就是緊跟你的對手,迫使他們從左邊或右邊補全“3連劃”,像這樣:

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不管你才用什么策略,有一件事情在數學上是確定無疑的:走過 6 步之后,必定有人會贏。這是因為從9個數字中劃掉7個,必然會有3個被劃掉的數字連在一起。(不信的話可以試試看,我們將在最后的練習中討論這個問題。)在這種情況下我們說6是這個游戲中可走步數的“上限”。

所以,即使我可能不知道走哪步最好,但我們可以確定,這游戲最多玩不過6步就可以決出勝負。接下來我們可以拓展一下。將列表擴充為1-15的話,最多走10步可以出現贏家,概括來說,如果列表中數字個數可以被3整除的話,最多可以劃掉2/3的數字。

找到這樣的上限是理解游戲的一個步驟:例如,上限可能引導我們想出獲勝的策略,或者當列表大小不是3的倍數時,上限可以作為一個參考量。雖然知道上限看起來并沒有很大幫助,但相比于類似的規則的游戲,它已經是很大的進步了。

舉個例子,我們把規則稍微改一下,3個劃掉的數字不必都緊挨著,可以間隔一個固定長度。這意味著如果你劃掉一個數字正好湊成2 3 4,你就輸了(就像在原版游戲中一樣),如果是1 3 5(間隔2)或者1 4 7,你也輸了。這些模式是“等差數列”:間隔相同步長(稱為公差)的數字序列。

回到我們第一盤游戲,使用新規則。還是輪到你,不過這次你已經輸掉了。

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劃掉1會湊成1 3 5,劃掉2湊成2 5 8,4湊成3 4 5,6湊成3 6 9,7湊成7 8 9。你走任何一步都會產生一個被劃掉的等差數列。這里有很多可以注意的東西,這導致游戲比原版復雜得多,并且也更難找到安全步數的上限。

對于數學家來說,真正的樂趣在于把一個簡單的數字游戲變成跟數學本身玩游戲。他們的目標是算出到底能走多少步就必然有人輸掉,而且是在任意大小的數字串上。換句話說給定任意長度的數字序列,可以劃掉多少數字而劃掉的數字不形成一個等差數列?規則聽起來簡單的不能再簡單,但是我們并不知道答案,并且我們對游戲的其他變化形式知道的更少。我們再玩幾局游戲,看看數學會把我們領向哪里。

在我們的等差數列游戲中,一系列的“安全操作”其實本質上是一個“Salem-Spencer集”,即 {1,2,3,4,5,6,7,8,9} 中一個不含等差數列的子集。所以我們之前所說的上限實際上是對于我們這串數字最大的Salem-Spencer集。但是要知道走哪些步才能達到上限卻很難辦到。來看為什么。

我們從一個新的數字串開始。誰也不可能在頭兩步就輸掉,所以隨便選兩個數字,直接劃掉3和5。

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然后選擇第3個數字,這時候要注意了。就像原版游戲里一樣,我們必須小心不要從已劃數字的旁邊或者中間做出等差數列。比如我們不能選4,因為3 4 5;不能選1,因為1 3 5 ,不能選7,因為3 5 7。因為8是安全的,所以就劃掉它吧。

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情況要變復雜了?,F在要考慮的等差數列多了許多,我們要盯著三對劃掉的數字。

一方面,我們對于將要發生的事情有很好的認識。對于每一對數字,我們都需要避免從中間或者旁邊形成等差數列。但事情并不像我們希望的那樣可以預測。一開始劃掉的3和5消除了三個可能的選擇:1,4和7。但是3和8不消除任何選擇,因為我們必須避免的數字:-2,5.5和13并不在數字列表中。5和8只消除了2,因為6.5和13都不可選。

我們做出的每個選擇都會消除一些未來的選擇,但消除多少取決于我們選擇什么數字。這一不規則性讓窮盡所有可能性變得困難,我們也不再那么容易能夠確定所有數字列表情況的上限了。

回到我們的游戲。我們看到6是安全的,所以我們劃掉它。

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游戲到此結束:下一步沒有安全的選項了。我們已經知道1,2,4和7會輸,劃掉9會產生等差數列3-6-9。我們已經盡力了。

這意味著包含我們安全操作的集合 {3,5,6,8} 是一個 Salem-Spencer 集。但它是最大的嗎?我們知道這個特定的集合不可能再大了,但是其他的策略可能產生更大的集合嗎?{1,2,3,4,5,6,7,8,9} 可以包含更大而不含3項的等差數列的子集嗎?

是有的:{1,2,6,8,9} 是此游戲的安全操作的集合,因此是一個Salem-Spencer集。并且是最大的。因為我們知道對于集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9},最大的Salem-Spencer集大小就是5。但是對于一般的n個元素的集合,{1,2,3,…,n},我們不總是知道答案。事實上,對于現在來說,我們只知道 n ≤ 209 的答案。

數學家想知道,對于{1,2,3,…,n},最大Salem-Spencer集中究竟有幾個元素。但是總體來說他們能做到的最多只有確定一個范圍。即使是這也非常困難,部分是因為我們上面看到的不規律性。劃掉新數字可能消除許多選項,也可能只有幾個。在下面的表格中,你可以看到這種不規律性。表格列出了對于{1,2,3,…,n},不同 n 值下最大Salem-Spencer集中究竟有幾個元素。

在我們 n = 9 的游戲中,最大的Salem-Spencer集的大小是5。但是注意到如果我加上10這個數字,最大Salem-Spencer集的大小并不增加,仍舊是5。

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另一方面,n 等于12到13到14的情況下,最大值從6增加到7到8。但再增加1需要n增加6。

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像Roth定理和 Szemeredi 定理這樣的結果為這些集合和他們的變體的大小設置了界限,并且通常使用了大量數字和高等數學(比如遍歷理論與傅里葉變換)。舉例來說,菲爾茨獎得主蒂莫西·高爾斯在他關于更加廣義的 Szemeredi 定理的工作中,為不含 k 長度等差數列集合的大小建立了一個重要的上限。但如果我們想計算我們游戲在 n = 9(數字列表的長度),k = 3(避免劃掉的等差數列長度)時的上限,我們的計算會包含估算2的4096次方的大小,一個具有1200位的數字!

雖然這樣的界限對我們的日常生活并不十分有用,但是對我們仍不能完全理解的集合,它給了我們一些數學上的掌控力。比如,直到最近我們還沒有“多項式序列”的界限(即等差數列的推廣,包括加法和升冪)。像2 + 3、2 +3²,2 +3³ 這樣的多項式序列比簡單的等差數列更復雜,從而使得選擇不含多項式序列子集的游戲更難被理解。但建立上限是走向理解的另一步,這是每一個數字游戲的數學目標。

練習

Q:證明: 數字序列是{1,2,3,4,5}的原始規則的游戲中(連續劃掉3個間隔為1的數字就輸了),玩家1有一個獲勝策略。

A: 若玩家1劃掉3就可以穩贏。如果第二名玩家接著劃掉1或5中的一個,第一名玩家劃掉另外一個就可以獲勝。如果玩家2劃掉2,玩家1劃掉5;如果玩家2劃掉4,玩家1劃掉1。

Q:數字序列是{1,2,3,4,5,6}的游戲中,任何一個玩家都有保證勝利的策略嗎?

A: 玩家2有獲勝的策略。假設玩家1從{1,2,3}中選擇一個數字。則玩家2應從{1,2,3}中選擇相鄰的一個數字。例如,如果玩家1選擇3,玩家2就選擇2。接下來,玩家1就必須從{4,5,6}中選擇一個數字。無論選哪個,玩家2都可以穩贏。如果玩家1最初選了集合{4,5,6}的數字,可以運用同樣的策略。

Q:數字序列是{1,2,3,4,5,6,7,8,9}的原始規則的游戲中,不可能安全地走7步。

(提示:將數字序列分成以下子集:{1,2,3},{4,5,6} 和 {7,8,9}。)

A: 注意,從提示中劃掉三個子集中任何一個子集中的三個數字都將輸掉游戲。走過6步之后,理論上我們可以在三個子集中的每一個子集中劃掉兩個數字。但無論第七步怎么走,都將連成3個數字而結束比賽。這被稱為鴿子洞原則:把七只鴿子放進三個洞里,意味著至少一個洞里必須有三只鴿子。注意這與練習2中的獲勝策略相似。

Q: 找到{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}的最大Salem-Spencer子集。

A: 一種策略是從兩端的數字開始,因為它們永遠不可能位于數列的中間。所以我們取1和11,這就排除了6。再次應用該策略選擇2和10,這樣3和9就不能再選了。從剩下的{4,5,7,8}中可以再取兩個,比如4和5。根據上表,最大的Salem Spencer子集是6。

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